【格理论（二）】Voronoi 胞腔，傅里叶变换与对偶格

傅里叶变换与对偶格

转移定理（Transference 定理/Banaszczyk 定理）

Minkowski定理的简单推广

根据作业启发，对相应理论进行了粗略的了解与整理。

基于余元公式的简单推广

对于 Gamma 函数来说，我们有一个很有趣且常用的公式，称为余元公式：

$\Gamma(1/p)\cdot \Gamma(1 - 1/p) = \dfrac{\pi}{\sin(\pi/p)}$

其中 $p > 1$。

下面我们设 $\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$，其中 $p > 1$，$q > 1$，注意到 $V_n(p) = \dfrac{2^n}{p^n}\cdot\dfrac{\Gamma(1/p)^n}{\Gamma(1+n/p)}$，同时带入 $p$ 和 $q$，然后相乘，就有：

$\begin{aligned} V_n(p)^{\frac{1}{n}}\cdot V_n(q)^{\frac{1}{n}} &= \dfrac{4\cdot \Gamma(1/p)\cdot\Gamma(1/q)}{pq}\cdot \dfrac{1}{\Gamma(1+n/p)^{\frac{1}{n}}\cdot\Gamma(1+n/q)^{\frac{1}{n}}}\\ &=\dfrac{4\pi}{pq\sin(\pi/p)} \cdot \dfrac{1}{\Gamma(1+n/p)^{\frac{1}{n}}\cdot\Gamma(1+n/q)^{\frac{1}{n}}}\\ &= \dfrac{4\pi e}{p^{\frac{1}{q}}q^{\frac{1}{p}}\sin(\pi/p)} \end{aligned}$

分别根据 $l_p$ 和 $l_q$ 范数下的 Minkowski 第一定理，相乘得到：

$\lambda_1^{(p)}(\Lambda) \cdot \lambda_1^{(q)}(\Lambda) \lesssim \dfrac{n\sin(\pi/p)}{\pi e} \cdot p^{\frac{1}{q}} q^{\frac{1}{p}} \cdot \det(\Lambda)^{\frac{2}{n}}$

基于极体的简单推广

我们注意到，Minkowski Convex Body Theorem 对于（有界闭合内部非空的）形状 $S$ 的要求主要是（1）凸（2）中心对称，而当我们去证明 Minkowski 第一第二定理时，我们将其特化成了（椭）球体，如果我们回过头来，只是考虑这样的一个内部非空的有界闭合中心对称凸体 $S\subset \mathbb{R}$。同时设 $\Lambda\subset \mathbb{R}^n$ 为一个满秩格。

这里会想到极体主要是因为想到了对偶格。凸分析中自然有极体的概念可以使用。